Теория колебаний

1.1 Уравнение движения

Движение динамической системы характеризуется перемещением u, скоростью v и ускорением a.

(1)   \begin{equation*} \(\Dot{u} \) = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = v \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} \(\Ddot{u} \) = \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a  \end{equation*}

Скорость — это мера изменения перемещения тела во времени. Скорость представляет собой наклон графика перемещения. Ускорение — это мера изменения скорости тела во времени. Ускорение представляет собой наклон графика скорости.

На рисунке 1 показана система с одной степенью свободы.

простейшая система колебаний
m — масса (инерция); b — демпфирование(рассеивание энергии); k — жесткость; u(t) — перемещение; p(t) — сила.
Рисунок 1 — Система с одной степенью свободы

В моделях сложных систем возможно (а часто и желательно) наличие меньшего числа динамических степеней свободы, чем статических. Масса и демпфирование ассоциируются с движением динамической системы.
Степени свободы с массой и демпфированием часто называют динамическими
степенями свободы. Степени свободы с жесткостью называют статическими
степенями свободы.

Уравнение равновесия, представляющее динамическое поведение системы, известно как уравнение движения. Это уравнение, которое определяет условия равновесия системы в каждый момент времени, представляется как:

(3)   \begin{equation*} \(m\cdot\Ddot{u}(t)+b\cdot\Dot{u}(t)+k\cdot u(t)=p(t) \) \end{equation*}

В уравнение движения входят силы, действующие на конструкцию в каждый момент времени. Эти силы разделяются на внутренние и внешние. Внутренние силы находятся в левой части уравнения, внешние силы указаны в
правой части. Результирующее уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, представляющим движение системы как функцию перемещения и высших производных перемещения.

Движущееся с ускорением тело взывает силу, которая пропорциональна массе и ускорению. Данная сила называется силой инерции m\Ddot{u}(t).

Сила вязкого демпфирования b\Dot{u}(t) осуществляет механизм рассеивания энергии системы

. Эта сила пропорциональна коэффициенту рассеивания энергии и скорости. С помощью силы демпфирования моделируют превращение кинетической энергии тела в другие виды энергии, например тепловую. Механизм рассеивания энергии ведет к затуханию колебаний.

Третье слагаемое уравнения (3) характеризует упругое сопротивление системы и является функцией перемещения и жесткости системы. Данную силу называют упругой или силой жесткости пружины b\Dot{u}(t).

В правой части уравнения находится действующая на систему функция внешних сил во времени p(t). Внешние силы не зависят от объекта, к которому они приложены. Результаты действия одной и той же силы на различные системы могут существенно отличаться.

1.2 Решение уравнения движения системы.

Результатом динамического анализа является решение уравнения движения для перемещений, скоростей, ускорений и/или напряжений как функций от времени. Физика природы динамического процесса и требуемая выходная информация определяет выбор соответствующего метода решения.

Динамический анализ условно делится на две части: свободные колебания и вынужденные колебания. Свободные колебания применяют при анализе динамических характеристик системы без нагрузки.

1.2.1 Свободные колебания

При анализе свободных колебаний без демпфирования уравнение движения системы с одной степенью свободы сводится к виду:

(4)   \begin{equation*} \(m\cdot\Ddot{u}(t)+k\cdot u(t)=0 \) \end{equation*}

Общее решение уравнения (4) следующие:

(5)   \begin{equation*} \(u(t)=A\cdot \sin \omega _n\cdot t + B\cdot \cos \omega _n\cdot t\) \end{equation*}

Круговая собственная частота \omega _n является одним из свойств системы. Индекс n может означать собственную частоту системы с одной степенью свободы. Если у системы несколько динамических степеней свобод, то данный индекс может означать порядковый номер частоты системы. Для системы с одной степенью свободы круговая собственная частота равна:

(6)   \begin{equation*} \(\omega _n=\sqrt\frac {k} {m}\) \end{equation*}

Единица измерения круговой собственной частоты является радиан в секунду.

Собственная частота f_n определяется как

(7)   \begin{equation*} \(f_n = \frac {\omega _n} {2\cdot\pi}\) \end{equation*}

Собственная частота измеряется количеством циклов в единицу времени, обычно циклов в секунду или герц (Гц). Эта характеристика указывает на число синусоидальных или косинусоидальных волн функций за отрезок времени.

Период колебания это величина обратная собственной частоте.

(8)   \begin{equation*} \(T_n = \frac {1} {f_n} = \frac {2\cdot\pi} {\omega _n}\) \end{equation*}

Период колебаний — длительность одного полного цикла колебаний.

В уравнении (5) А и B — постоянные интегрирования. Данные константы определяются из граничных условий системы. Поскольку начальные перемещения и скорость системы известны А и B определяются подстановкой этих решений в решение уравнения для перемещения и его первой производной (скорости) с результатом:

(9)   \begin{equation*} \(B=u(t=0) \textrm{ и } A = \frac {\Dot u(t=0)} {\omega _n}\) \end{equation*}

В результате подстановки начальных условий в уравнение движения получаем:

(10)   \begin{equation*} \(u(t)=\frac {\Dot u(0)} {\omega _n}\cdot\sin\omega _n\cdot t + u(0)\cos\omega _n\cdot t\) \end{equation*}

Выражение (10) есть решение для задачи свободных колебаний системы с одной степенью свободы без демпфирования. Данное выражение определяется как функция с начальным перемещением и скоростью. В графическом виде колебания системы с одной степенью свободы без демпфирования являются синусоидальной функцией показанной на рисунке 2. Вид этой функции зависит от начального смещения и скорости.

 Система с одной степенью свободы без демпфирования
Рисунок 2 — Свободные колебания без демпфирования

При учете демпфирования решается задача о свободных колебаний с демпфированием. Следовательно, уравнение движения будет иметь вид

(11)   \begin{equation*} \(m\cdot\Ddot{u}(t)+b\cdot\Dot{u}(t)+k\cdot u(t)=0 \) \end{equation*}

Решение этого уравнения будет зависеть от величины демпфирования. По величине демпфирования условно можно выделить три типа демпфирования для положительных значений b:

  • критическое демпфирование;
  • сверхкритическое демпфирование;
  • докритическое демпфирование.

Критическое демпфирование имеет место при равенстве коэффициента b критическому коэффициенту вязкого демпфирования b_{kp} определяемому как

(12)   \begin{equation*} \( b_{kp} =2\cdot\sqrt{k\cdot m} = 2\cdot m\cdot\omega _n \) \end{equation*}

При критическом демпфировании решение имеет вид:

    \[u(t)=(A+B\cdot t)\cdot e^{-\frac {b\cdot t} {2\cdot m}}\eqno (13)\]

При выполнении условия (12) система возвратится в состояние покоя без колебаний.

Система со сверхкритическим демпфированием b>b_{kp} также вернется в состояние покоя без колебаний.

В более общем случае, когда b<b_{kp} решение принимает вид:

    \[u(t)=e^{-\frac {b\cdot t} {2\cdot m}}\cdot(A\cdot \sin{\omega _d\cdot t} + B\cdot \cos{\omega _d\cdot t)}\eqno (14)\]

Постоянные интегрирования A и B зависят от начальных условий. Обозначение \omega _d характеризует круговую собственную частоту системы с демпфированием. Данная круговая частота соотносится с круговой частотой без демпфированием по следующей зависимости:

    \[\omega _d= \omega _n\cdot\sqrt {1-\zeta^2}\]

Величина \zeta называется коэффициентом демпфирования. Данная величина является безразмерной и определяется по формуле:

    \[\zeta = \frac {b} {b_{kp}}\eqno (15)\]

В случае докритического демпфирования амплитуда колебания уменьшается по экспоненциальному закону как показано на рисунке 3.

График колебания. Демпфер.
Рисунок 3 — Система с демпфированием при свободных колебаниях

1.2.2 Вынужденные колебания

При анализе вынужденных колебаний рассматривается влияние приложенной нагрузки на реакцию системы. Анализ вынужденных колебаний проводят как с демпфированием так и без него.

Расчет вынужденных колебаний с демпфирование является более общим видом анализа.

Тип заданной нагрузки определяет каким математическим методом будет решаться поставленная задача. Гармоническая нагрузка является простейшей нагрузкой. При отсутствии демпфирования уравнение движения имеет вид:

    \[m\cdot \Ddot u(t) + k\Dot u(t) = p\cdot \sin \omega \cdot t \eqno(16)\]

Решение уравнения (12) будет иметь вид:

    \[u(t) = \underbrace {A\cdot \sin \omega _n \cdot t + B \cdot \cos \omega _n \cdot t }_{C}+ \underbrace {\frac {p/k} {1 - \omega ^2 /\omega ^2_n} \cdot \sin \omega \cdot t}_{D} \eqno(17)\]

где С — начальные условия;
            D — установившиеся вынужденные колебания;

    \[A = \frac {\ \Dot u(t=0)} {\omega _n} - \frac {\omega \cdot p/k} {1-\omega ^2/\omega _n}; \eqno (18)\]

      B = u(t=0).

А и В постоянные интегрирования определяются из начальных условий. В третьем члене уравнения (18) прослеживается связь характеристик конструкции и реакции системы. Знаменатель выражения содержит отношение частоты приложенной нагрузки к собственной частоте конструкции:

    \[\frac {1} {1-\omega ^2/\omega _n} \eqno (19)\]

Выражение (19) называют коэффициентом усиления или динамическим коэффициентом. Если частота нагрузки будет приблизительно равна собственной частоте конструкции, то возникнет резонанс. Явления резонанса показано на рисунке 4.

Резонанс.
Рисунок 4 — Реакция на гармоническое возбуждение без демпфирования

Резонанс может разрушить конструкцию. Инженеры и научные работники должны стремиться к тому, чтобы это явление не проявлялось, либо было управляемым.

Решая эту же задачу о гармоническом нагружении системы с демпфированием, получают решения для более сложного, но ограниченного резонансного поведения. В таком случае уравнение движения примет вид:

    \[m\cdot \Ddot u(t)+b\cdot \Dot u(t) + k\cdot u(t) = p\cdot \sin \omega \cdot t \eqno (20)\]

В данном случае влияние начальных условий быстро угасает и им пренебрегают. Решение для установившихся колебаний:

    \[u(t) = p/k \frac {\sin (\omega \cdot t + \theta )} {\sqrt {(1 - \omega ^2/ \omega _n^2)^2 + (2\cdot \zeta \cdot \omega / \omega _n)^2 }} \eqno (21)\]

Числитель выражения (21) содержит сдвиг фазы между перемещением и действующей нагрузкой. При демпфировании максимум нагрузки и колебаний не совпадут во времени. Такое разделение определяется фазовым углом \theta

    \[\theta = -\tan ^{-1} \frac {2\cdot \zeta \cdot \omega/ \omega _n} {1- \omega ^2/ \omega _n^2}\]

Фазовый угол \theta называют фазовым опережением — характеризует величину на которую реакция опережает нагрузку.

09.08.2017

Резюме
Теория колебаний
Название статьи
Теория колебаний
Краткое описание
Основы теории колебаний
Автор
Publisher Name
нет
Publisher Logo