Устойчивость прямоугольной сжатой пластины при шарнирном закреплении сторон

Рассмотрим шарнирно закрепленную по контуру изотропную пластину. На рисунке 1 показана пластина нагруженная сжимающей силой.

Одноосное сжатие
Рисунок 1 – Одноосное сжатие шарнирно закрепленной пластины

Уравнение устойчивости для одноосного сжатия:

(1)   \begin{equation*}D \nabla^2 \nabla^2 w + N _x \frac { \partial ^2 w} { \partial x^2 } = 0,\end{equation*}

гдеD= \frac {E\cdot h^3} {12\cdot (1- \mu^2)};
E – модуль упругости;
\mu – коэффициент Пуассона;
h – толщина пластины;
\nabla^2 \nabla^2 w = \frac {\partial ^4 w} {\partial x^4} + \frac {\partial ^4 w} {\partial x^2 \cdot \partial y^2} + \frac {\partial ^4 w} {\partial y^4};
N_x – сжимающее усилие;
w – функция прогиба.

При шарнирном закреплении пластины функция для прогиба должна удовлетворять граничным условиям по контуру пластины:

  • при x = 0 и x = a: w = \frac {\partial^2 w} {\partial x^2};
  • при y=0 и y=b: w = \frac { \partial^2 w } { \partial y^2 }.

Функция удовлетворяющая шарнирному закреплению по всем сторонам пластины представлена формулой (2):

(2)   \begin{equation*}w(x,y)= \sum\limits_{m=1}^\infty \sum\limits_{n=1}^\infty A_m_n \sin \frac {m \pi x} {a} \sin \frac {n \pi y} {b} ,\end{equation*}

Подставив (2) в (1) получим уравнение (3):

(3)   \begin{align*}\sum\limits_{m=1}^\infty \sum\limits_{n=1}^\infty A_m_n \biggl[ D \pi^4 \Biggl( \frac {m^2} {a^2} + \frac {n^2} {b^2} \Biggr) ^2 -  \\ - \frac {\pi^2 m^2} {a^2}N_x \biggr] \sin \frac {m \pi x} {a} \sin \frac {n \pi y} {b}=0 ,\end{align*}

Уравнение имеет решение если один из множителей равен нулю. Если A_m_n = 0, то мы имеем недеформированную пластину. Когда A_m_n \not= 0 решение уравнения возможно при равенстве нулю выражения стоящего в квадратных скобках.

(4)   \begin{equation*}  D \pi^4 \Biggl( \frac {m^2} {a^2} + \frac {n^2} {b^2} \Biggr) ^2 -   \frac {\pi^2 m^2} {a^2}N_x  = 0 ,\end{equation*}

Поскольку нагрузка действует в одном направлении, то при потери устойчивости полуволны будут образовываться в направлении действия нагрузки, т.е. вдоль x. В направлении y будет образована только одна полуволна. Поэтому значение n принимается равной единице.

Выражая силу получим формулу (5) для определения критической нагрузки:

(5)   \begin{equation*}  N_k_p= \frac {\pi^2a^2D} {m^2} \Biggl( \frac {m^2} {a^2} + \frac {1}{b^2}\Biggr)^2\end{equation*}


или

(6)   \begin{equation*}  N_k_p= K_c \frac {\pi^2D} {b^2}\end{equation*}

При переходе от распределенной нагрузки к напряжениям \sigma = \frac {N} {h} и учитывая
выражение D= \frac {E\cdot h^3} {12\cdot (1- \mu^2)} получим формулу (7):

(7)   \begin{equation*} \sigma_k_p = k_cE \Biggl( \frac {h} {b} \Biggr)^2\end{equation*}


где k_c= \frac {\pi^2} {12(1-\mu^2)} \Biggl( \frac {mb} {a} + \frac {a}{mb}\Biggr)^2

На рисунке 2 построен график зависимости k_c(\frac {b} {a}) зависящий от соотношения сторон пластины. Величина m = 1, 2, 3, …

коэффициент устойчивости